Question

已知x，y≠kπ+（k∈Z），sinx是sinθ，cosθ的等差中項，siny是sinθ，cosθ的等比中項．
求證：（1）cos2x=cos2y；（2）=．

Answer 1

證明：（1）∵sinθ與cosθ的等差中項是sinx，等比中項是siny，
∴sinθ+cosθ=2sinx①，sinθcosθ=sin²y②，
①²-②×2，可得（sinθ+cosθ）²-2sinθcosθ=4sin²x-2sin²y，即4sin²x-2sin²y=1．
∴4×-2×=1，即2-2cos2x-（1-cos2y）=1．
故證得cos2x=cos2y；
（2）要證=，只需證=，
即證=，即證cos²x-sin²x=（cos²y-sin²y），只需證cos2x=cos2y．
由（1）的結論，cos2x=cos2y顯然成立．
所以=．
分析：（1）根據等差數列的性質可得2sinx等于sinθ+cosθ，記作①，根據等比數列的性質可得sin²y等于sinθcosθ，記作②，然后①²-②×2，利用同角三角函數間的基本關系化簡，然后利用二倍角的正弦函數公式化簡可得證；
（2）由（1）得到的結論，利用二倍角的余弦函數公式化簡后，把分母看作“1”即為正弦與余弦函數的平方和，然后利用同角三角函數間的基本關系弦化切即可得證．
點評：此題考查學生靈活運用同角三角函數間的基本關系，以及二倍角的正弦、余弦函數公式化簡求值，是一道綜合題．學生在證明第二問時應注意“1”的靈活變換．