Question

設f（n）為正整數n（十進制）的各數位上的數字的平方之和，比如f（123）=1²+2²+3²=14．記f₁（n）=f（n），f_k+1（n）=f（f_k（n）），k=1，2，3，…，則f₂₀₀₆（2006）=（　　）

A．20

B．4

C．42

D．145

Answer 1

分析：由題意求出f（2006）的值，然后求出f（f（2006））的值，順次進行，求出它的周期即可得到結果．

解答：解：由題意f（2006）=2²+0²+0²+6²=40，f（f（2006））=f（40）=4²+0²=16，f（16）=1²+6²=37，f（37）=3²+7²=58，f（58）=5²+8²=89，f（89）=8²+9²=145，f（145）=1²+4²+5²=42，f（42）=20，f（20）=4，
f（4）=16，
f（16）=37，f（37）=58，f（58）=f（85）…11次一個循環，
f₂₀₀₆（2006）=f（f（f（f（f（…f（2006）…）））））），共有2006次計算，所以表達式取得2006次計算后，經過182次循環，余下4次計算，計算f（89）=8²+9²=145，所以f₂₀₀₆（2006）=145．
故選：D．

點評：本題是中檔題，考查函數值的計算，求出函數的值去掉計算后，得到函數的周期性計算的解題的關鍵．