Question

如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4．
（1）求證：AC⊥BC₁；
（2）在AB上是否存在點D，使得AC₁∥平面CDB₁，若存在，確定D點位置并說明理由，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，利用向量的數量積為0，證明向量垂直；
（2）假設在AB上存在點D使得AC₁∥平面CDB₁，則利用AC₁∥平面CDB₁，存在實數m，n，使

AC1

=m

B1D

+n

B1C

成立，即可求得結論．

解答：（1）證明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AC，BC，CC₁兩兩垂直，以C為坐標原點，直線CA，CB，CC₁分別為x軸y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則C（0，0，0），A（3，0，0），C₁（0，0，4），B（0，4，0），B₁（0，4，4）．

∵

AC

=（-3，0，0），

BC1

=（0，-4，4），∴

AC

•

BC1

=0，即

AC

⊥

BC1

，
∴AC⊥BC₁．
（2）解：假設在AB上存在點D使得AC₁∥平面CDB₁，則

AD

=λ

AB

=（-3λ，4λ，0），其中0≤λ≤1，則D（3-3λ，4λ，0），

B1D

=（3-3λ，4λ-4，-4），
又

B1C

=（0，-4，-4），

AC1

=（-3，0，4），AC₁∥平面CDB₁，所以存在實數m，n，使

AC1

=m

B1D

+n

B1C

成立，
∴m（3-3λ）=-3，m（4λ-4）-4n=0，-4m-4n=4，
所以λ=

1

2

，所以在AB上存在點D使得AC₁∥平面CDB₁，且D為AB的中點．

點評：本題考查利用向量知識解決立體幾何問題，考查線線垂直，考查探索型問題，解題的關鍵是建立坐標系，用坐標表示向量．