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設A，B為橢圓上的兩個動點．

(1)若A，B滿足，其中O為坐標原點，求證：為定值；

(2)若過A，B的橢圓的兩條切線的交點在直線x＋2y＝5上，求證直線AB恒過一個定點．

答案：
解析：

　　證明：(1)①若OA，OB的斜率都存在時，設OA方程為，代入橢圓方程，得

　　同理，直線OB的方程為　＋

　　②當直線OA，OB的斜率有一條存在另一條不存在時

　　或或

　　(2)也成立．　　6分

　　設，點也在橢圓上

　　兩式相減得，令得切線的斜率為，切線方程為，

　　再由點A在橢圓上，得過A的切線方程為　　8分

　　同理過B的切線方程為：，設兩切線的交點坐標為，則：

　　，即AB的方程為：，又，消去，得：

　　直線AB恒過定點．　　14分


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•浙江模擬）如圖，F1，F2是離心率為
2
2
的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點，直線l：x=-
1
2
將線段F1F2分成兩段，其長度之比為1：3．設A，B是C上的兩個動點，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點，線段AB的中點M在直線l上．
（Ⅰ） 求橢圓C的方程；
（Ⅱ） 求
F2P
•
F2Q
的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•宿遷一模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
6
3
，一條準線方程為x=
3
6
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設G，H為橢圓上的兩個動點，O為坐標原點，且OG⊥OH．
①當直線OG的傾斜角為60°時，求△GOH的面積；
②是否存在以原點O為圓心的定圓，使得該定圓始終與直線GH相切？若存在，請求出該定圓方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（14分）設A．B為橢圓上的兩個動點。

（1）若A．B滿足，其中O為坐標原點，求證：為定值；

    （2）若過A．B的橢圓的兩條切線的交點在直線x+2y=5上，求證直線AB恒過一個定點。

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年北京市高三起點考試理科數學卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）

    已知橢圓的左、右兩個焦點分別為F1、F2，離心率為，且拋物線與橢圓C1有公共焦點F2（1，0）。

   （1）求橢圓和拋物線的方程；

   （2）設A、B為橢圓上的兩個動點，，過原點O作直線AB的垂線OD，垂足為D，求點D為軌跡方程。

 

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同步練習冊答案
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