Question

【題目】已知圓經過原點且與直線相切于點

（Ⅰ）求圓的方程；

（Ⅱ）在圓上是否存在兩點關于直線對稱，且以線段為直徑的圓經過原點？若存在,寫出直線的方程；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.

（Ⅱ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）由已知得圓心經過點P（4，0）、且與y=2x﹣8垂直的直線上，它又在線段OP的中垂線x=2上，求得圓心C（2，1），半徑為，可得圓C的方程．

（Ⅱ）假設存在兩點M，N關于直線y=kx﹣1對稱，則y=kx﹣1通過圓心C（2，1），求得k=1，設直線MN為y=﹣x+b，代入圓的方程，利用韋達定理及 =0，求得b的值，可得結論．

（Ⅰ）法一：由已知，得圓心在經過點且與垂直的直線上，它又在線段的中垂線上，所以求得圓心，半徑為.

所以圓的方程為.

(細則：法一中圓心3分，半徑1分，方程2分)

法二：設圓的方程為，

可得

解得,

所以圓的方程為

(細則：方程組中一個方程1分)

（Ⅱ）假設存在兩點關于直線對稱，則通過圓心，求得，

所以設直線為

代入圓的方程得，

設，，則

解得或

這時，符合題意，所以存在直線為或符合條件

(細則：未判斷的扣1分).