Question

在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），若以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標，曲線的極坐標方程為（其中為常數）.

（1）若曲線與曲線只有一個公共點，求的取值范圍；

（2）當時，求曲線上的點與曲線上的點的最小距離.

 

Answer 1

【答案】

（1）或；（2）.

【解析】

試題分析：本題考查極坐標與直角坐標之間的轉化，參數方程與普通方程之間的轉化，考查學生的轉化能力和計算能力，考查數形結合思想.第一問，把參數方程和極坐標方程先進行轉化，再利用數形結合解題；第二問，考查點到直線的距離公式，利用配方法求最小值.

試題解析：(1)曲線可化為，，

曲線可化為，

若曲線，只有一個公共點，

則當直線過點時滿足要求，此時，

并且向左下方平行運動直到過點之前總是保持只有一個公共點，

當直線N過點時，此時，

所以滿足要求；

再接著從過點開始向左下方平行運動直到相切之前總有兩個公共點，相切時仍然只有一個公共點，聯立，得，

，解得，

綜上可求得的取值范圍是或.（5分）

（2）當時，直線，

設上的點為，，

則曲線上的點到直線的距離為，

當時取等號，滿足，所以所求的最小距離為.(10分)

考點：1.參數方程與普通方程的互化；2.極坐標方程與直角坐標方程的互化；3.點到直線的距離公式；4.配方法求最值.