Question

已知離心率為

1

2

的橢圓C₁的左、右焦點分別為F₁，F₂，拋物線C₂：y²=4mx（m＞0）的焦點為F₂，設橢圓C₁與拋物線C₂的一個交點為P（x'，y'），|PF1|=

7

3

，則橢圓C₁的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1

；拋物線C₂的標準方程為

y²=4x

．

Answer 1

分析：根據題意設出橢圓的方程，把橢圓的方程與拋物線的方程進行聯立，得到交點的坐標，|PF₁|的長，求出m的值，求寫出橢圓的方程、拋物線C₂的標準方程，得到結果．

解答：解：因為c=m，e=

1

2

，
∴a=2m，b²=3m²，設橢圓方程為

x2

4m2

+

y2

3m2

=1，
由橢圓的方程與y²=4mx，得3x²+16mx-12m²=0
即（x+6m）（3x-2m）=0，得x₁=

2m

3

，
代入拋物線方程得y=

2 6

3

m，P（

2m

3

，

2 6

3

m）
|PF₂|=x₁+m=

5m

3

，
|PF₁|=2a-

5m

3

=

7m

3

=

7

3

，
∴m=1，
當m=1時，橢圓C₁的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1；拋物線C₂的標準方程為 y²=4x．
故答案為：

x2

4

+

y2

3

=1；y²=4x．

點評：本題考查解析幾何與數列的綜合題目，題目中所應用的數列的解題思想，用到曲線與曲線之間的交點問題，本題主要考查運算，整個題目的解答過程看起來非常繁瑣，注意運算．