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在直角坐標系xOy中,以M(-1,0)為圓心的圓與直線x-y-3=0相切.
(1)求圓M的方程;
(2)如果圓周上存在兩點關于直線mx+y+1=0對稱,求m的值;
(3)已知A(-2,0),B(2,0),圓肘內的動點P滿足|PA|•|PB|=|PO|2,求的取值范圍.
【答案】分析:(1)由直線與圓相切,得到圓心到切線的距離d等于半徑r,利用點到直線的距離公式求出圓心M到已知直線的距離d,即為圓M的半徑,寫出圓M方程即可;
(2)由圓上存在兩點關于直線mx+y+1=0對稱,得到直線mx+y+1=0過圓心,將M坐標代入直線中,即可求出mm的值;
(3)設P(x,y),利用兩點間的距離公式化簡已知的等式,整理后得到x與y的關系式,再表示出兩向量的坐標,利用平面向量的數量積運算法則計算所求的式子,將表示出的關系式代入得到關于y的式子,由P在圓M內部,得到P與圓心M的距離小于半徑列出不等式,即可求出所求式子的范圍.
解答:解:(1)依題意,圓心M(-l,0)到直線x-y-3=0的距離d=r,
∴d==2=r,
則圓M的方程為(x+1)2+y2=4;
(2)圓M上存在兩點關于直線mx+y+1=0對稱,
∴直線mx+y+1=0必過圓心M(-1,0),
將M坐標代入mx+y+1=0得:-m+1=0,
解得:m=1;
(3)設P(x,y),
由|PA|•|PB|=|P0|2得:=x2+y2
整理得:x2-y2=2,
∵A(-2,0),B(2,0),
=(-2-x,-y),=(2-x,-y),
=x2-4+y2=2(y2-1),
點P在圓M內,(x+1)2+y2<4,可得0≤y2<4,
∴-2≤2(y2-1)<6,
的取值范圍為[-2,6).
點評:此題考查了圓的標準方程,涉及的知識有:點到直線的距離公式,兩點間的距離公式,對稱的性質,平面向量的數量積運算法則,以及點與圓、直線與圓的位置關系,熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵.
練習冊系列答案
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在直角坐標系xOy中,橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2.F2也是拋物線C2:y2=4x的焦點,點M為C1與C2在第一象限的交點,且|MF2|=
5
3

(Ⅰ)求C1的方程;
(Ⅱ)平面上的點N滿足
MN
=
MF1
+
MF2
,直線l∥MN,且與C1交于A,B兩點,若
OA
OB
=0
,求直線l的方程.

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在直角坐標系xOy中,已知點P(2cosx+1,2cos2x+2)和點Q(cosx,-1),其中x∈[0,π].若向量
OP
OQ
垂直,求x的值.

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精英家教網如圖所示,在直角坐標系xOy中,射線OA在第一象限,且與x軸的正半軸成定角60°,動點P在射線OA上運動,動點Q在y軸的正半軸上運動,△POQ的面積為2
3

(1)求線段PQ中點M的軌跡C的方程;
(2)R1,R2是曲線C上的動點,R1,R2到y軸的距離之和為1,設u為R1,R2到x軸的距離之積.問:是否存在最大的常數m,使u≥m恒成立?若存在,求出這個m的值;若不存在,請說明理由.

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在直角坐標系xOy中,已知圓M的方程為x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0(α為參數),直線l的參數方程為
x=tcosθ
y=1+tsinθ
(t
為參數)
(I)求圓M的圓心的軌跡C的參數方程,并說明它表示什么曲線;
(II)求直線l被軌跡C截得的最大弦長.

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科目:高中數學 來源: 題型:

在直角坐標系xOy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率e=
2
2
,左右兩個焦分別為F1,F2.過右焦點F2且與x軸垂直的直線與橢圓C相交M、N兩點,且|MN|=2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設橢圓C的一個頂點為B(0,-b),是否存在直線l:y=x+m,使點B關于直線l 的對稱點落在橢圓C上,若存在,求出直線l的方程,若不存在,請說明理由.

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