Question

（理科）已知橢圓，過焦點且垂直于長軸的弦長為1，且焦點與短軸兩端點構成等邊三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點Q（-1，0）的直線l交橢圓于A，B兩點，交直線x=-4于點E，且，．求證：λ+μ為定值，并計算出該定值．

Answer 1

（1）解：∵橢圓過焦點且垂直于長軸的弦長為1，且焦點與短軸兩端點構成等邊三角形
∴，∴a=2，b=1，∴求橢圓的方程為；
（2）證明：由題意直線l斜率存在，令l：y=k（x+1），A（x₁y₁），B（x₂，y₂），E（-4，y₀）
直線方程代入橢圓方程，消去y可得（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0，∴△=48k²+16＞0
x₁+x₂=，x₁x₂=
∵，∴λ=
∵，∴μ=
∴λ+μ=+=-==0．
分析：（1）根據橢圓過焦點且垂直于長軸的弦長為1，且焦點與短軸兩端點構成等邊三角形，建立方程組，求出幾何量，從而寫出橢圓的方程即可；
（2）易知直線l斜率存在，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再利用韋達定理及向量的坐標公式即可求得λ+μ值．
點評：本題主要考查橢圓的標準方程，考查直線與圓錐曲線的綜合問題、向量在幾何中的應用等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．