Question

已知A₁，A₂，…，A_n，…依次在x軸上，A1(1，0)

，A2(5，0)

， AnAn+1 = 1 2 An-1An

（n=2，3，…），點B₁，B₂，…，B_n，…依次在射線y=x（x≥0）上，且B₁（3，3），|

OBn

|=|

OBn-1

|+2

2

(n=2，3，…)
（1）用n表示A_n，B_n的坐標；
（2）若四邊形A_nA_n+1B_n+1B_n面積為S_n，求S_n的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意

AnAn+1

=

1

2

An-1An

是一個等比關系，故根據等比數列公式求其通項，進而求出示A_n，B_n的坐標；
（2）由題意（1）中數列的前n項和即為An的縱坐標，再由在射線y=x（x≥0）上依次有點B1，B2，…，Bn，…即可得出Bn的坐標；根據四邊形AnAn+1Bn+1Bn的幾何特征，把四邊形的面積分成兩個三角形的面積來求，求出面積的表達式，再作差Sn-Sn-1，確定其單調性，然后求出最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵

AnAn+1

=

1

2

An-1An

，又∵A1(1，0)，A2(5，0)
∴

AnAn+1

=

1

2n-1

A1A2

=

1

2n-1

(4，0)=(

1

2n-3

，0)
∴

A1An

=

A1A2

+

A2A3

+…+

An-1An

=（4+2+…+

1

2n-4

，0）=（8-

16

2n

，0）
∴An(9-

16

2n

，0)
又∵B₁（3，3），
∴|

OB1

|=3

2

又∵|

OBn

|=|

OBn-1

|+2

2

(n=2，3，…)
∴|

OBn

|=（2n+1）

2

∵點B₁，B₂，…，B_n，…依次在射線y=x（x≥0）上，
∴B_n（2n+1，2n+1）
（2）∵

|AnAn+1

|=

1

2n-3

，△A_nA_n+1B_n+1的底面邊A_nA_n+1的高為h₁=2n+3，
又∵

|BnBn+1

|=2

2

，點An(9-

16

2n

，0)到直線y=x的距離為h₂=

9- 16 2n

2

∴S_n=

1

2

•(2n+3)•

1

2n-3

+

1

2

•2

2

•

9-( 1 2 )n-4

2

=9+(8n-4)(

1

2

)n
∴S_n-S_n-1=(20-8n)(

1

2

)n
當n≤2時，S_n-S_n-1＞0；
當n≥2時，S_n-S_n-1＜0；
∴S₁＜S₂＞S₃＞…＞Sn＞…
∴S_max=S₂=12

點評：本題是一個數列應用題，也是等差等比數列的一個綜合題，本題有著一個幾何背景，需要做正確的轉化和歸納，才能探究出正確的解決方法．本題是個難題，比較抽象．