Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+（a-1）x²+48（a-2）x+b的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，試判斷f（x）在區(qū)間[-4，4]上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，由奇函數(shù)的定義，可得f（x）是奇函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)，可得a（-x）³+（a-1）（-x）²+48（a-2）（-x）x+b=-[ax³+（a-1）x²+48（a-2）x+b]恒成立，分析可得a、b的值，即可得f（x）的解析式，對(duì)f（x）求導(dǎo)，分析其導(dǎo)數(shù)在（-4，4）上的符號(hào)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即可得答案．

解答：解：f（x）在[-4，4]上是單調(diào)遞減函數(shù)．
證明如下：函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，
則f（x）是奇函數(shù)，即f（-x）=-f（x）對(duì)于任意x的成立，
則有a（-x）³+（a-1）（-x）²+48（a-2）（-x）x+b=-[ax³+（a-1）x²+48（a-2）x+b]
必有a-1=0，b=0，
即a=1，b=0，
于是f（x）=x³-48x．
∴f′

x

=3x2-48，
∴當(dāng)x∈(-4，4)∴f′

x

＜0，
所以f（x）在[-4，4]上是單調(diào)遞減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與單調(diào)性的判斷，注意結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，分析求出a、b的值．