Question

（2013•淄博二模）在如圖所示的幾何體中，△ABC是邊長為2的正三角形，AE＞1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，且BD⊥CD．
（I）若AE=2，求證：AC∥平面BDE；
（II）若二面角A-DE-B為60°，求AE的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分別取BC、BA、BE的中點M、N、P，連接DM、MN、NP、DP．由三角形中位線定理，證出NP∥AE且NP=

1

2

AE=1．根據等腰△BCD的“三線合一”證出DM⊥BC，利用面面垂直的性質定理證出DM⊥平面ABC，結合AE⊥平面ABC得到DM∥AE．因此得到DM∥NP且DM=NP，從而四邊形DMNP為平行四邊形，得到MN∥DP，根據線面平行判定定理證出AC∥平面BDE；
（Ⅱ）過M作MQ⊥ED的延長線于Q，連結BQ．由線面垂直的判定與性質，證出ED⊥BQ可得∠MQB為二面角A-ED-B的平面角，即∠MQB=60°．在Rt△BMQ中，算出MQ、BQ的長，在Rt△MND中算出DQ的長．設AE=h+1，可得DE、BE、QE關于h的表達式，在Rt△BQE中利用勾股定理建立關于h的方程，解之即可得到h的值，從而得到AE的長．

解答：解：（Ⅰ）分別取BC、BA、BE的中點M、N、P，連結DM、MN、NP、DP，
則MN∥AC，NP∥AE，且NP=

1

2

AE=1
∵BD=CD，BC=2，M為BC的中點，∴DM⊥BC，DM=1
又∵平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC=BC，BC?平面BCD
∴DM⊥平面ABC…（2分）
又∵AE⊥平面ABC，∴DM∥AE…（4分）
∴DM∥NP，且DM=NP，可得四邊形DMNP為平行四邊形，
∴MN∥DP，可得AC∥DP，
又∵AC?平面BDE，DP?平面BDE，∴AC∥平面BDE．…（6分）
（Ⅱ）過M作MN⊥ED的延長線于Q，連結BQ．
∵BC⊥AM，BC⊥DM，∴BC⊥平面DMAE，
結合ED?平面DMAE，可得BC⊥ED．
∴ED⊥平面BMQ，
∵BQ?平面BMQ，∴ED⊥BQ．
因此，∠MQB為二面角A-ED-B的平面角，即∠MQB=60°．…（9分）
在Rt△BMQ中，BM=1，則MQ=

1

3

，BQ=

2

3

；在Rt△MND中，DQ=

6

3

．
設AE=h+1，則DE=

h2+3

，可得QE=

h2+3

+

6

3

，
又∵BE=

(h+1)2+22

∴在Rt△BQE中，BE²=BQ²+QE²，即（h+1）²+2²=(

2

3

)2+(

h2+3

+

6

3

)2
解之得h=

6

，可得AE=

6

+1…（12分）

點評：本題在三棱錐中證明線面平行，并在已知二面角的大小為60度的情況下求線段AE的長．著重考查了三角形中位線定理、空間直線與平面平行的判定定理、直線與平面垂直的判定與性質等知識，屬于中檔題．