Question

8．已知拋物線y²=2x，兩點(diǎn)M（1，0），N（3，0）．
（Ⅰ）求點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)M的直線l交拋物線于兩點(diǎn)A，B，若拋物線上存在一點(diǎn)R，使得A，B，N，R四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)拋物線的性質(zhì)，即可求出點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離，
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\{y^2}=2x\end{array}\right.$，利用韋達(dá)定理，分類(lèi)討論，即可求出k的值．

解答 解：（Ⅰ）由已知，拋物線y²=2x的準(zhǔn)線方程為$x=-\frac{1}{2}$．
所以，點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為$|{1-（-\frac{1}{2}）}|=\frac{3}{2}$．
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\{y^2}=2x\end{array}\right.$得k²x²-（2k²+2）x+k²=0，
所以${x_1}+{x_2}=\frac{{2{k^2}+2}}{k^2}$，x₁x₂=1．
①N，R在直線AB異側(cè)，A，B，N，R四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，則AB，NR互相平分．
所以，x₁+x₂=x_R+x_N，y₁+y₂=y_R+y_N，
所以，$\frac{{2{k^2}+2}}{k^2}={x_R}+3$，${x_R}=\frac{{2-{k^2}}}{k^2}$.${y_R}={y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}-2）=\frac{2}{k}$．
將（x_R，y_R）代入拋物線方程，得$y_R^2=2{x_R}$，即$\frac{4}{k^2}=2×\frac{{2-{k^2}}}{k^2}$，
解得k=0，不符合題意．
②若N，R在直線AB同側(cè)，A，B，N，R四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，則AR，BN互相平分．
所以，x₁+x_R=x₂+x_N，y₁+y_R=y₂+y_N，
所以，x_R=x₂-x₁+3，y_R=y₂-y₁．
代入拋物線方程，得${（{y_2}-{y_1}）^2}=2（{x_2}-{x_1}+3）$，又$y_1^2=2{x_1}$，$y_2^2=2{x_2}$，
所以${（{y_2}-{y_1}）^2}=2（\frac{y_2^2}{2}-\frac{y_1^2}{2}+3）$，注意到${y_2}{y_1}=-2\sqrt{{x_1}{x_2}}=-2$，
解得$y_1^2=1$，y₁=±1．
當(dāng)y₁=1時(shí)，${x_1}=\frac{1}{2}$，k=-2；當(dāng)y₁=-1時(shí)，${x_1}=\frac{1}{2}$，k=2．
所以k=±2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的方程和性質(zhì)，以及直線和拋物線的關(guān)系，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和分類(lèi)討論的能力，屬于中檔題．