Question

已知函數f（x）=m（x+）的圖象與h（x）=（x+）+2的圖象關于點A（0，1）對稱．
（1）求m的值；
（2）若g（x）=f（x）+在（0，2]上是減函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：由函數f（x）=m（x+）的圖象與h（x）=（x+）+2的圖象關于點A（0，1）對稱．
（1）我們可以根據A是兩個相互對稱點的中點，求出函數f（x）=m（x+）的圖象上一點的坐標，然后構造一個關于m的方程，解方程即可得到m的值；
（2）利用單調性的定義，我們可以利用作差法，構造一個關于a的不等式，解不等式即可求出a的取值范圍．
解答：解：（1）設P（x，y）是h（x）圖象上一點，點P關于A（0，1）的對稱點為Q（x，y），則x=-x，y=2-y．
∴2-y=m，∴y=m+2，從而m=．
（2）g（x）=（x+）+=（x+）．
設0＜x₁＜x₂≤2，
則g（x₁）-g（x₂）=（）-（）
=（x₁-x₂）+（a+1）•
=（x₁-x₂）•＞0，
并且在x₁，x₂∈（0，2]上恒成立，
∴x₁x₂-（a+1）＜0，
∴1+a＞x₁x₂，1+a≥4，∴a≥3．
點評：本題考查的知識點是函數的對稱性和奇偶性，其中利用函數的性質，將問題轉化為一個方程問題或是不等式問題是解答本題的關鍵．