Question

在邊長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為AB與C₁D₁的中點．
（1）求證：四邊形A₁ECF是菱形；
（2）求證：EF⊥平面A₁B₁C；
（3）求A₁B₁與平面A₁ECF所成角的正切值．

Answer 1

（1）證明：取A₁B₁的中點G，連接C₁G、GE．
∵A₁G∥FC₁且A₁G=FC₁，∴A₁GC₁F是平行四邊形．
∴A₁F∥C₁G．同理C₁G∥CE．∴A₁F∥CE．
由勾股定理算得A₁E=A₁F=CE=CF=a，∴四邊形A₁ECF是菱形．
（2）證明：連接C₁B，∵E、F分別為AB與C₁D₁的中點，
∴C₁F=BE．又C₁F∥BE，
∴C₁FEB為平行四邊形．∴C₁B∥EF．而C₁B⊥B₁C，
∴EF⊥B₁C．又四邊形A₁ECF是菱形，∴EF⊥A₁C．∴EF⊥面A₁B₁C．
（3）解：由（2）知，EF⊥平面A₁B₁C，又EF?平面A₁ECF，
∴平面A₁B₁C⊥平面A₁ECF．∴B₁在平面A₁ECF上的射影在線段A₁C上．
∴∠B₁A₁C就是A₁B₁與平面A₁ECF所成的角．
∵A₁B₁⊥B₁C，在Rt△A₁B₁C中，tan∠B₁A₁C==．
∴A₁B₁與平面A₁ECF所成角的正切值為．
分析：（1）取A₁B₁的中點G，連接C₁G、GE．要證四邊形A₁ECF是菱形，只需證明A₁E=A₁F=CE=CF即可．
（2）要證EF⊥平面A₁B₁C，只需證明直線EF垂直平面A₁B₁C內的兩條相交直線A₁C、B₁C即可；
（3）說明∠B₁A₁C就是A₁B₁與平面A₁ECF所成的角．然后解三角形，求A₁B₁與平面A₁ECF所成角的正切值．
點評：本題考查直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，直線與平面所成的角，考查學生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．