Question

（2011•延慶縣一模）設函數(shù)f（x）的定義域為D，如果對于任意的x₁∈D，存在唯一一個x₂∈D，使得f（x₁）+f（x₂）=c（c為常數(shù)）成立，則稱函數(shù)f（x）在D上“與常數(shù)c關(guān)聯(lián)”，現(xiàn)有函數(shù) ①y=

1

x-1

，②y=-x³，③y=(

1

2

)|x|，④y=ln（-x），⑤y=cosx+

1

2

，則其中滿足在其定義域上與常數(shù)1關(guān)聯(lián)的所有函數(shù)是（　　）

A．①②⑤

B．①③

C．②④⑤

D．②④

Answer 1

分析：對各個選項分別加以判斷：根據(jù)“與常數(shù)4關(guān)聯(lián)”的定義，列出方程可以解出x₂關(guān)于x₁表達式且情況唯一的選項是②和④
，而①和③通過解方程發(fā)現(xiàn)不符合這個定義，從而得出正確答案．

解答：解：①y=

1

x-1

 的定義域為{x|x≠1}，設x₁≠1，由

1

x1-1

+

1

x2-1

=1，可得 x₂=

2x1-3

x1-2

，
當x₁=2時，x₂不存在，故①y=

1

x-1

在其定義域上不是與常數(shù)1關(guān)聯(lián)的函數(shù)． 
②y=-x³ 的定義域R，設x₁∈R，由-x₁³-x₂³=1，可得一定存在唯一的一個x₂=

3	-1-x13

=-

3	1-+x13

，
故②y=-x³ 在其定義域上是與常數(shù)1關(guān)聯(lián)的函數(shù)．
③y=(

1

2

)|x|的定義域為R，設x₁=-1時，滿足 (

1

2

)|x1|+(

1

2

)|x2|=1的 x₂ 不存在，
故③y=(

1

2

)|x| 在其定義域上不是與常數(shù)1關(guān)聯(lián)的函數(shù)．
④y=ln（-x）的定義域為{x|x＜0}，設x₁＜0，由ln（-x₁）+ln（-x₂）=1，可得唯一的x₂=

e

x1

＜0，
故④y=ln（-x）在其定義域上是與常數(shù)1關(guān)聯(lián)的函數(shù)．
⑤y=cosx+

1

2

明顯不成立，因為y=cosx+

1

2

是R上的周期函數(shù)，故在其定義域上不是與常數(shù)1關(guān)聯(lián)的函數(shù)． 
故選 D．

點評：本題著重考查了抽象函數(shù)的應用，屬于基礎(chǔ)題．充分理解各基本初等函數(shù)的定義域和值域，是解決本題的關(guān)鍵．