Question

已知圓C：x²+y²-2x-4y-4=0．
（I）設圓C與x軸交于A、B兩個點，求線段AB的長；
（II）過點（4，3）作圓C的切線，求切線的方程．

Answer 1

解：（I）由題意可得：圓的標準方程為：（x-1）²+（y-2）²=9，設D為AB的中點，
因為圓C與x軸相交，
所以|CD|=2，|所以AC|=3，
所以在直角三角形ACD中，|AD|=，
所以|AB|=2|AD|=2．
（II）由題意可得：點（4，3）在圓的外部，所以所求切線有兩條，
由圖象可得，過點（4，3）作圓的切線一條為x=4．

設過點（4，3）的圓C的另一條切線為：y-3=k（x-4），
根據點到直線的距離公式可得：，
解得：k=，整理切線方程可得：4x+3y-25-0．
所以圓的切線方程為：x=4或者4x+3y-25-0．
分析：（I）設D為AB的中點，由題意可得：|CD|=2，|AC|=3，在直角三角形ACD中，|AD|=，進而求出答案．
（II）由題意可得：點（4，3）在圓的外部，所以所求切線有兩條，由圖象可得，過點（4，3）作圓的切線一條為x=4．
設出另一條切線方程，再由點到直線的距離得到切線方程．
點評：本題主要考查弦長問題與直線與圓的位置關系，以及點到直線的距離公式．