Question

已知函數f（x）=x²+

2

x

+alnx（x＞0），
（Ⅰ）若函數y=f（x）的圖象在x=1處的切線l在兩坐標軸上的截距相等，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在[1，+∞]上單調遞增，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若定義在區間D上的函數y=f（x）對于區間D上的任意兩個值x₁，x₂總有以下不等式

1

2

[f（x₁）+f（x₂）≥f（

x1+x2

2

）成立，則稱函數y=f（x）為區間D上的“凹函數”．試證當a≤0時，f（x）為“凹函數”．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，確定斜率，求出切點坐標，可得切線l的方程，利用切線l在兩坐標軸上的截距相等，即可求得結論；
（Ⅱ）求導函數，利用函數為[1，+∞）上單調增函數，則f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥

2

x

-2x2在[1，+∞）上恒成立，求出右邊對應函數的最大值，即可求得結論；            
（Ⅲ）由f（x）=x²+

2

x

+alnx，得

1

2

[f（x₁）+f（x₂）=

1

2

(x

2 1

+

x

2 2

)+

x1+x2

x1x2

+aln

x1x2

，f（

x1+x2

2

）=(

x1+x2

2

)2+

4

x1+x2

+aln

x1+x2

2

，利用基本不等式即可得到結論．

解答：（Ⅰ）解：∵f′(x)=2x-

2

x2

+

a

x

(x＞0)
∴f′（1）=2-2+a=a
∵f（1）=3
∴切線l的方程為y-3=a（x-1），即y=ax-a+3．
∵切線l在兩坐標軸上的截距相等，
故①當直線l過原點時，-a+3=0，∴a=3；
②當直線l不過原點時，a=-1
所以a=3或-1．                                                        
（Ⅱ）解：由f（x）=x²+

2

x

+alnx，得f′(x)=2x-

2

x2

+

a

x

(x＞0)
若函數為[1，+∞）上單調增函數，則f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立
即不等式2x-

2

x2

+

a

x

≥0在[1，+∞）上恒成立．也即a≥

2

x

-2x2在[1，+∞）上恒成立  
令g(x)=

2

x

-2x2，上述問題等價于a≥g（x）_max
而g(x)=

2

x

-2x2為在[1，+∞）上的減函數，則g（x）_max=g（1）=0，
于是a≥0為所求                                                           
（Ⅲ）證明：由f（x）=x²+

2

x

+alnx，得

1

2

[f（x₁）+f（x₂）=

1

2

(x

2 1

+

x

2 2

)+

x1+x2

x1x2

+aln

x1x2

f（

x1+x2

2

）=(

x1+x2

2

)2+

4

x1+x2

+aln

x1+x2

2

而

1

2

(x

2 1

+

x

2 2

)≥(

x1+x2

2

)2 ①
又(x1+x2)2=

x

2 1

+

x

2 2

+2x1x2≥4x1x2，∴

x1+x2

x1x2

≥

4

x1+x2

  ②
∵

x1x2

≤

x1+x2

2

，∴ln

x1x2

≤ln

x1+x2

2

，
∵a≤0，∴aln

x1x2

≥aln

x1+x2

2

，③
由①、②、③得

1

2

(x

2 1

+

x

2 2

)+

x1+x2

x1x2

+aln

x1x2

≥(

x1+x2

2

)2+

4

x1+x2

+aln

x1+x2

2

即

1

2

[f（x₁）+f（x₂）≥f（

x1+x2

2

），從而由凹函數的定義可知函數為凹函數

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，考查不等式的證明，考查新定義，正確理解新定義是關鍵．