Question

給出下列命題：
①當α=4.5π時，函數y=cos（2x+α）是奇函數；
②函數y=sinx在第一象限內是增函數；
③函數f(x)=sin2x-(

2

3

)|x|+

1

2

的最小值是-

1

2

；
④存在實數α，使sinα•cosα=1；
⑤函數y=

3

sinωx+cosωx(ω＞0)的圖象關于直線x=

π

12

對稱?ω=4k（k∈N^*）．
其中正確的命題序號是

①③

．

Answer 1

分析：①當α=4.5π時，函數y=cos（2x+α）=-sin2x是奇函數；
②因為y=sinx在[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]上是增函數．而說第一象限是增函數不對的；
③在函數f(x)=sin2x-(

2

3

)|x|+

1

2

中，-

1

2

≤sin²x-（

2

3

）^|x|+

1

2

；
④sinα•cosα=

1

2

sin2α∈[-

1

2

，

1

2

]；
⑤y=

3

sinωx+cosωx(ω＞0)的圖象關于直線x=

π

12

對稱?ω=4．

解答：解：①當α=4.5π時，函數y=cos（2x+α）=-sin2x，是奇函數，故①正確；
②因為y=sinx在[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]上是增函數．而說第一象限是增函數不對的，
因為在一個象限并不一定在一個區間內．所以②錯誤；
③在函數f(x)=sin2x-(

2

3

)|x|+

1

2

中，
∵0≤sin²x≤1，-1≤-（

2

3

）^|x|＜0，
∴-

1

2

≤sin²x-（

2

3

）^|x|+

1

2

，
∴函數f(x)=sin2x-(

2

3

)|x|+

1

2

有最小值-

1

2

，故③正確；
④∵sinα•cosα=

1

2

sin2α∈[-

1

2

，

1

2

]，
∴不存在實數α，使sinα•cosα=1，故④不正確；
⑤∵y=

3

sinωx+cosωx(ω＞0)
=2sin（ωx+

π

6

）（ω＞0）的圖象關于直線x=

π

12

對稱，
∴ω=4．故⑤不正確．
故答案為：①③．

點評：本題考查命題的真假判斷，解題時要認真審題，注意三角函數的性質的靈活運用．