Question

5．已知函數f（x）=|x+1|+|2x-1|，若關于x不等式f（x）≥|m-1|+|m-2|的解集是R，則實數m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：化為分段函數易得f（x）的最小值為

3

2

，進而可得

3

2

≥|m-1|+|m-2|等價于

m≥2 3 2 ≥2m-3

或

m≤1 3 2 ≥-2m+3

或

1＜m＜2 3 2 ≥1

，解不等式組可得答案．

解答： 解：當x≤-1時，f（x）=|x+1|+|2x-1|=-（x+1）-（2x-1）=-3x≥3，
當x≥

1

2

時，f（x）=|x+1|+|2x-1|=（x+1）+（2x-1）=3x≥

3

2

當-1＜x＜

1

2

時，f（x）=|x+1|+|2x-1|=（x+1）-（2x-1）=-x+2∈（

3

2

，3），
綜上可得f（x）=|x+1|+|2x-1|≥

3

2

，即f（x）的最小值為

3

2

，
∵關于x不等式f（x）≥|m-1|+|m-2|的解集是R，
∴

3

2

≥|m-1|+|m-2|等價于

m≥2 3 2 ≥2m-3

或

m≤1 3 2 ≥-2m+3

或

1＜m＜2 3 2 ≥1

，
解不等式組可得

3

4

≤m≤1或1＜m＜2或2≤m≤

9

4

，即m≥

3

4

故答案為：m≥

3

4

點評：本題考查絕對值不等式的解法，化為分段函數是解決問題的關鍵，屬中檔題．