Question

（2012•江蘇二模）設直線y=a分別與曲線y²=x和y=e^x交于點M、N，則當線段MN取得最小值時a的值為

2

2

．

Answer 1

分析：先確定M、N的坐標，求得線段MN長，利用導數的方法，可求線段MN的最小值，從而可得a的值．

解答：解：∵直線y=a分別與曲線y²=x和y=e^x交于點M、N
∴M（a²，a），N（lna，a）
∴線段MN長l=|a²-lna|
由題意可知a＞0，設f（a）=a²-lna，f'（a）=2a-

1

a

令f'（a）＞0，a＞

2

2

；令f'（a）＜0，a＜

2

2

故f（

2

2

）為函數f（a）的最小值，并且f（

2

2

）＞0
所以a=

2

2

時，線段MN長取得最小值
故答案為：

2

2

點評：本題考查直線與曲線的位置關系，考查導數知識的運用，確定線段MN的長是關鍵．