Question

平均變化率表示的幾何意義是什么呢?導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么呢?

Answer 1

思路:平均變化率(Δx表示自變量的增量,Δy表示函數(shù)的增量),實(shí)際上是兩點(diǎn)的斜率公式.函數(shù)f(x)在x=x₀處的瞬時(shí)變化率=,即為函數(shù)f(x)在x=x₀處的導(dǎo)數(shù).

探究:若函數(shù)用f(x)來表示,則f(x)從x₁到x₂的平均變化率為(Δx表示自變量的增量,Δy表示函數(shù)的增量),它的實(shí)質(zhì)就是曲線上兩點(diǎn)間的斜率公式.因此,它表示了函數(shù)圖象上兩點(diǎn)(x≠x₂)連線的斜率.而導(dǎo)數(shù)是指當(dāng)Δx→0時(shí)平均變化率的極限,即Δx越小,任意兩點(diǎn)的連線越趨近于x=x₀處的切線.因此,平均變化率的幾何意義是f(x)圖象上任意兩點(diǎn)連線的斜率;而導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示f(x)在x=x₀處的切線的斜率.