Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知3cos（B-C）=1+6cosBcosC．
（1）求cosA；
（2）若a=3，△ABC的面積為2

2

，求b+c的值．

Answer 1

考點：余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）已知等式利用兩角和與差的余弦函數公式化簡，整理后利用兩角和與差的余弦函數公式及誘導公式化簡，求出cosA的值即可；
（2）由cosA的值求出sinA的值，利用三角形的面積公式表示出三角形ABC面積，把sinA，已知面積代入求出bc的值，利用余弦定理列出關系式，把a與cosA的值代入求出b²+c²的值，利用完全平方公式求出（b+c）²的值，開方即可求出b+c的值．

解答： 解：（1）由3cos（B-C）=1+6cosBcosC，
整理得：3cosBcosC-3sinBsinC=-1，
即3cos（B+C）=-1，
∴cosA=-cos（B+C）=

1

3

；
（2）∵A為三角形內角，∴sinA=

1-cos2A

=

2 2

3

，
∵S_△ABC=

1

2

bcsinA=2

2

，
∴bc=6①，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即b²+c²=13②，
聯立①②，得（b+c）²=b²+c²+2bc=13+12=25，
則b+c=5．

點評：此題考查了余弦定理，三角形面積公式，兩角和與差的余弦函數公式，以及誘導公式的作用，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．