Question

當n為正整數時，函數N（n）表示n的最大奇因數，如N（3）=3，N（10）=5，…，設S_n=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（2ⁿ-1）+N（2ⁿ），則S_n=

 

．

Answer 1

分析：由N（x）的性質可得知，當x是奇數時，x的最大奇數因子明顯是它本身．因此N（x）=x，進而可得，奇數項的和；當x是偶數時，可利用數學歸納法推斷出偶數項的和．因此由這樣一個性質，我們就可將S_n進行分解，分別算出奇數項的和與偶數項的和進而相加．

解答：解：由N（x）的性質可得知，當x是奇數時，x的最大奇數因子明顯是它本身．因此N（x）=x，當x是偶數時，參看下面的討論，
因此由這樣一個性質，我們就可將S_n進行分解，分別算出奇數項的和與偶數項的和進而相加，即S_n=S_奇+S_偶，
∴S_奇=N（1）+N（3）+…+N（2ⁿ-1）=1+3+…2ⁿ-1=

1+2n-1

2

× 2n-1=4^n-1
當x是偶數時，且x∈[2^k，2^k+1）①當k=1時，x∈[2，4）該區間包含的偶數只有2，而N（2）=1所以該區間所有的偶數的最大奇因數之和為T₁=1
②當k=2時，x∈[4，8），該區間包含的偶數為4，6，所以該區間所有的最大奇因數偶數之和為T₂=1+3=4
③當k=3時，x∈[8，16），該區間包含的偶數為8，10．，12，14，則該區間所有偶數的最大奇因數之和為T₃=1+3+5+7=16，因此我們可以用數學歸納法得出當x∈[2^k，2^k+1）該區間所有偶數的最大奇因數和T_k=4^k-1．
∴對k從1到n-1求和得T₁+T₂+…+T_n-1=

4n-1-1

3

∴S_偶=T₁+T₂+…+T_n-1+N（2ⁿ）=

4n-1+2

3

綜上可知S_n=S_奇+S_偶=4^n-1+

4n-1+2

3

=

4n+2

3

故答案為

4n+2

3

點評：本題主要考查了數列的求和問題．考查了學生通過已知條件分析問題和解決問題的能力．