Question

【題目】已知數列{an}是等比數列，Sn為數列{an}的前n項和，且a3=3，S3=9
（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設bn=log2 ，且{bn}為遞增數列，若cn= ，求證：c1+c2+c3+…+cn＜1．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設數列{an}的公比為q，
則3（1+ + ）=9，
解得，q=1或q=﹣ ；
故an=3，或an=3（﹣ ）n﹣3；
（Ⅱ）證明：若an=3，則bn=0，與題意不符；
故a2n+3=3（﹣ ）2n=3（ ）2n ，
故bn=log2 =2n，
故cn= = ﹣ ，
故c1+c2+c3+…+cn=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣
=1﹣ ＜1．
【解析】（Ⅰ）設數列{an}的公比為q，從而可得3（1+ + ）=9，從而解得；（Ⅱ）討論可知a2n+3=3（﹣ ）2n=3（ ）2n ， 從而可得bn=log2 =2n，利用裂項求和法求和．
【考點精析】利用等比數列的通項公式（及其變式）和數列的前n項和對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知通項公式：；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．