Question

乙知圓M：(x+)²+y²=36，定點N(，0)，點P為圓M上的動點，點O在NP上，點G在MP上，且滿足

(1)求點G的軌跡C的方程；

(2)過點(2，0)作直線l,與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，設，是否存在這樣的直線l，使四邊形OASB的對角線相等(即|OS|=|AB|)?若存在，求出直線l的方程；若不存在，試說明理由．

Answer 1

解：（1）為PN的中點且GQ⊥PN

GQ為PN的中垂線|PG|=|GN| 

∴|GN|+|GM|=|MP|=6,故G點的軌跡是M、N為焦點的橢圓，其長半軸長a=3,半焦距c=,∴短半軸長b=2,∴點G的軌跡方程是 

（2）因為,所以四邊形OASB為平行四邊形.若存在l使得

,則四邊形OASB為矩形

∴=0

若l的斜率不存在，直線l的方程為x=2,

由

∴=＞0,與=0矛盾，故l的斜率存在. 

設l的方程為y=k(x-2),A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)

由

∴x₁+x₂=  ①

y₁y₂=[k(x₁-2)][k(x₂-2)]

=k²[x₁x₂-2(x₁+x₂)+4]=-      ② 

把①,②代入x₁x₂+y₁y₂=0得k=±

∴存在直線l:3x-2y-6=0或3x+2y-6=0使得四邊形OASB的對角線相等.