Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=

n+2

n

a_n+1（n∈N^*）．
（1）證明數列{

an

n

}是等差數列；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）設b_n=

2 n

an

，求證：b₁+b₂+…+b_n＜6．

Answer 1

分析：（1）根據數列遞推式，再寫一式，兩式相減整理可得

an+1

n+1

-

an

n

=

an

n

-

an-1

n-1

，即可得到數列{

an

n

}是等差數列；
（2）確定數列{

an

n

}是以1為首項，1為公差的等差數列，即可求數列{a_n}的通項公式；
（3）對通項放縮，再裂項求和，即可證得結論．

解答：（1）證明：∵a_n+1=

n+2

n

a_n+1，∴a_n=

n+1

n-1

a_n-1+1
兩式相減可得a_n+1-a_n=

n+2

n

a_n-

n+1

n-1

a_n-1，
整理可得

an+1

n+1

-

an

n

=

an

n

-

an-1

n-1

，
∴數列{

an

n

}是等差數列；
（2）解：∵a₁=1，a_n+1=

n+2

n

a_n+1，∴a₂=3a₁+1=4
∴

a2

2

-

a1

1

=1
∴數列{

an

n

}是以1為首項，1為公差的等差數列
∴

an

n

=n，
∴a_n=n²；
（3）證明：n≥2時，b_n=

2 n

an

=

2 n

n2

=

4

n n +n n

＜

4

(n-1) n +n n-1

=4（

1

n-1

-

1

n

）
∴b₁+b₂+…+b_n＜b₁+4[（1-

1

2

）+（

1

3

-

1

2

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）=2+4（1-

1

n

）＜6．

點評：本題考查數列遞推式，考查數列的通項，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．