Question

（2013•昌平區二模）已知函數f（x）=

1

2

x2-alnx(a＞0)
（Ⅰ）若f（x）在x=2處的切線與直線3x-2y+1=0平行，求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）求f（x）在區間[1，e]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f′（x）=x-

a

x

=

x2-a

x

，由f'（2）=

3

2

，能求出a，再求出函數的定義域，求出導函數，令導函數大于0，求出x的范圍，寫出區間形式即得到函數f（x）的單調增區間．
（II）求出導函數，令導函數為0求出根，通過討論根與區間[1，e]的關系，判斷出函數的單調性，求出函數的最小值．

解答：解：（I）f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=x-

a

x

=

x2-a

x

由f（x）在x=2處的切線與直線3x-2y+1=0平行，則f′（2）=

4-a

2

=

3

2

，a=1…．（4分）
此時f（x）=

1

2

x²-lnx，f′（x）=

x2-1

x

令f′（x）=0得x=1
f（x）與f′（x）的情況如下：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	1 2	↗

所以，f（x）的單調遞減區間是（0，1），單調遞增區間是（1，+∞）…（7分）
（II）由f′（x）=

x2-a

x

由a＞0及定義域為（0，+∞），令f′（x）=0得x=

a

①若

a

≤1即0＜a≤1在（1，e）上，f′（x）＞0，
f（x）在[1，e]上單調遞增，f（x）_min=f（1）=

1

2

；
②若1＜

a

＜e，即1＜a＜e²在（1，

a

）上，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；在（

a

，e）上，f′（x）＞0，
f（x）單調遞增，因此在[1，e]上，f（x）_min=f（

a

）=

1

2

a（1-lna）；
③若

a

≥e，即a≥e²在（1，e）上，f′（x）＜0，
f（x）在[1，e]上單調遞減，f（x）_min=f（e）=

1

2

e²-a
綜上，當0＜a≤1時，f（x）_min=

1

2

；當1＜

a

＜e時，f（x）_min=

1

2

a（1-lna）；當a≥e²時，f（x）_min=

1

2

e²-a…..（13分）

點評：本題考查函數的單調區間的求法、利用導數求閉區間上函數的最值，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行分類討論思想和等價轉化思想進行解題．