Question

（2012•豐臺區二模）已知函數f(x)=cosx(

3

cosx-sinx)-

3

．
（Ⅰ）求f(

π

3

)的值；
（Ⅱ）求函數y=f（x）在區間[0，

π

2

]上的最小值，并求使y=f（x）取得最小值時的x的值．

Answer 1

分析：將函數解析式第一項利用單項式乘以多項式的法則計算，再利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，最后利用兩角和與差的余弦函數公式化為一個角的余弦函數，
（Ⅰ）將x=

π

3

代入化簡后的函數解析式中，即可求出f（

π

3

）的值；
（Ⅱ）由x的范圍，求出這個角的范圍，利用余弦函數的圖象與性質即可求出函數y=f（x）的最小值，以及此時x的值．

解答：解：f（x）=cosx（

3

cosx-sinx）-

3

=

3

cos²x-sinxcosx-

3

=

3

（

1+cos2x

2

）-

1

2

sin2x-

3

=

3

2

cos2x-

1

2

sin2x-

3

2

=cos（2x+

π

6

）-

3

2

，
（Ⅰ）f（

π

3

）=cos（2×

π

3

+

π

6

）-

3

2

=cos

5π

6

-

3

2

=-

3

2

-

3

2

=-

3

；
（Ⅱ）∵0≤x≤

π

2

，∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
則當2x+

π

6

=π，即x=

5π

12

時，函數y=f（x）有最小值是-1-

3

2

．

點評：此題考查了兩角和與差的余弦函數公式，二倍角的正弦、余弦函數公式，余弦函數的定義域與值域，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式是解本題的關鍵．