Question

已知橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），D（2，1）是橢圓M的一條弦AB的中點，點P（4，-1）在直線AB上，求橢圓M的離心率（　　）

• A、

  2

  3

• B、

  2

  3

• C、

  1

  2

• D、

  2

  2

Answer 1

分析：設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），代入橢圓M方程并作差，化簡整理得

y1-y2

x1-x2

=-

b2

a2

•

x1+x2

y1+y2

．由中點坐標公式與直線的斜率公式，結合題意化簡得x₁+x₂=4、y₁+y₂=2且

y1-y2

x1-x2

=-1，代入前面的等式化簡得a²=2b²，從而解出a=

2

c，即可算出橢圓M的離心率．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵點A、B在橢圓M上，∴

x12 a2 + y12 b2 =1 x22 a2 + y22 b2 =1

，兩式相減得

1

a2

(x12-x22)+

1

b2

(y12-y22)=0．
整理可得：

y1-y2

x1-x2

=-

b2

a2

•

x1+x2

y1+y2

…①，
∵AB的中點為D（2，1），∴由中點坐標公式，可得x₁+x₂=4且y₁+y₂=2，…②，
又∵直線AB經過點D（2，1）與P（4，-1），
∴k_AB=k_PD，即

y1-y2

x1-x2

=

-1-1

4-2

=-1…③，
將②③代入①，可得-1=-

b2

a2

•

4

2

，化簡得a²=2b²，
即a²=2（a²-c²），解之得a=

2

c，
∴該橢圓的離心率e=

c

a

=

2

2

．
故選：D

點評：本題給出橢圓的弦AB的中點D的坐標，在直線AB經過定點P的情況下求橢圓的離心率．著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質、直線與圓錐曲線的位置關系等知識，屬于中檔題．