Question

在數列{a_n}中，S_n是數列{a_n}的前n項和，a₁=1，當n≥2時，Sn2=an(Sn-

1

2

)
（1）求證{

1

Sn

}為等差數列，并求a_n；
（2）設b_n=

Sn

2n+1

，求數列{b_n}的前n項和T_n；
（3）是否存在自然數m，使得對任意自然數n∈N^*，都有T_n＜

1

4

(m-8)成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用當n≥2時，Sn2=an(Sn-

1

2

)，可得Sn2=(Sn-Sn-1)(Sn-

1

2

)，化簡可得2=

1

Sn

-

1

Sn-1

，從而可以證明{

1

Sn

}為等差數列，并求出a_n；
（2）利用裂項法求和，即可得到結論；
（3）令T（x）=

x

2x+1

=

1

2

(1-

1

2x+1

)，則T（x）在[1，+∞）上是增函數，可得T_n＜

1

2

，從而可得結論．

解答：（1）證明：∵當n≥2時，Sn2=an(Sn-

1

2

)
∴Sn2=(Sn-Sn-1)(Sn-

1

2

)
∴2S_nS_n-1=S_n-1-S_n
∴2=

1

Sn

-

1

Sn-1

∵a₁=1，∴

1

S1

=1
∴{

1

Sn

}是1為首項，2為公差的等差數列，
∴

1

Sn

=1+2(n-1)=2n-1
∴Sn=

1

2n-1

∴當n≥2時，a_n=-

2

(2n-1)(2n-3)

∵a₁=1，
∴a_n=

1，n=1 - 2 (2n-1)(2n-3) ，n≥2

；
（2）b_n=

Sn

2n+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=

1

2

[1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

；
（3）令T（x）=

x

2x+1

=

1

2

(1-

1

2x+1

)，則T（x）在[1，+∞）上是增函數
當x≥1時，

1

3

≤T(x)＜

1

2

，∴T_n＜

1

2

令

1

4

(m-8)≥

1

2

，則m≥10，
∴存在自然數m，使得對任意自然數n∈N^*，都有T_n＜

1

4

(m-8)成立，m的最小值為10．

點評：本題考查等差數列的證明，考查數列的通項與求和，考查學生分析解決問題的能力，難度中等．