Question

已知集合M={(x，y)|y≤2x且y≥

1

2

x≥0}，N={（x，y）|（x-a）²+（y-a）²≤（4-a）²}，若N⊆M，則a的取值范圍為

[5-

5

，5+

5

]

．

Answer 1

分析：由題意，N：以（a，a）為圓心，|4-a|為半徑的圓，M：y≤2x為直線y=2x以下的平面部分，y≥

1

2

x為y=

1

2

x以上的平面部分，x≥0為右平面部分．要使N包含于M，可以轉(zhuǎn)化成兩個(gè)條件：（1）N的圓心在M中，（2）N的圓心到M的兩條直線的距離≥N的半徑．從而可解．

解答：解：N：以（a，a）為圓心，|4-a|為半徑的圓．
M：y≤2x為直線y=2x以下的平面部分，y≥

1

2

x為y=

1

2

x以上的平面部分，x≥0為右平面部分
要使N包含于M，可以轉(zhuǎn)化成兩個(gè)條件：
（1）N的圓心在M中，（2）N的圓心到M的兩條直線的距離≥N的半徑．
對(duì)于（1），當(dāng)a≥0時(shí)，圓心（a，a）在M中，只要（a，a）在右平面就可以了．
對(duì)于（2），設(shè)圓心到y(tǒng)=2x（2x-y=0）的距離為d₁，到y(tǒng)=

1

2

x（x-2y=0）的距離為d₂．
根據(jù)直線距離公式，∴

a2

5

≥a2-8a+16
∴5-

5

≤a≤5+

5

故答案為[5-

5

，5+

5

]．

點(diǎn)評(píng)：本題以集合為載體，考查圓的方程，考查圓心到直線的距離，考查集合的關(guān)系，有一定的綜合性．