Question

已知拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸上，且拋物線上有一點P（4，m）到焦點的距離為6．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若拋物線C與直線y=kx-2相交于不同的兩點A、B，且AB中點橫坐標為2，求k的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意設拋物線方程為y²=2px，其準線方程為x=-，
∵P（4，m）到焦點的距離等于A到其準線的距離，
∴4+∴p=4
∴拋物線C的方程為y²=8x
（Ⅱ）由消去y，得 k²x²-（4k+8）x+4=0
∵直線y=kx-2與拋物線相交于不同兩點A、B，則有k≠0，△=64（k+1）＞0，解得k＞-1且k≠0，
又=2，
解得 k=2，或k=-1（舍去）
∴k的值為2．
分析：（Ⅰ）由題意設：拋物線方程為y²=2px，其準線方程為x=-，根據拋物線的大于可得：4+，進而得到答案．（Ⅱ）聯立直線與拋物線的方程得 k²x²-（4k+8）x+4=0，根據題意可得△=64（k+1）＞0即k＞-1且k≠0，再結合韋達定理可得k的值．
點評：本題主要考查拋物線的標準方程，以及直線與拋物線的位置關系．