Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x＞0且x≠1）.

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）已知2＞x^a對任意x∈（0，1）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

（1）f(x)的單調(diào)增區(qū)間為（0, ），單調(diào)減區(qū)間為（,1）和（1，+∞）（2）a＞-eln2

解析:

  （1）f′(x)=-，若f′(x)=0,則x=.

列表如下：

x	（0，）		（，1）	（1，+）
	+	0	-	-
f (x)	單調(diào)增	極大值f()	單調(diào)減	單調(diào)減

所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為（0, ），單調(diào)減區(qū)間為（,1）和（1，+∞）.

（2）在2＞x^a兩邊取對數(shù)，得ln2＞alnx.

由于x∈(0,1)，所以＞.                                                                  ①

由（1）的結(jié)果知，

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f(x)≤f（）=-e.

為使①式對所有x∈(0,1)成立，當(dāng)且僅當(dāng)＞-e,即a＞-eln2.