Question

【題目】已知函數。

（Ⅰ）若當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）求函數在區間上的最大值。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當時，在上的最大值為；當時，在上的最大值為；當時，在上的最大值為0。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）按照x與1進行討論，分離常數得 ，令 ，去掉絕對值符號化簡解析式，由一次函數的性質分別求出 的范圍，由恒成立問題求出的范圍，最后取并集；（Ⅱ）由題意求出，按照x與1、-1的關系去掉絕對值符號化簡解析式，由區間和對稱軸對進行分類討論，分別由二次函數的性質判斷出h（x）在區間上的單調性，并求出對應的最大值。

試題解析：解：（1）不等式對恒成立，即()對恒成立，①當時，（）顯然成立，此時；②當時，()可變形為，令

因為當時，，當時，，所以，故此時。綜合①②，得所求實數的取值范圍是。

（2）因為=①當時，結合圖形可知在上遞減，在上遞增，且，經比較，此時在上的最大值為。

②當時，結合圖形可知在，上遞減，在，上遞增，且，，經比較，知此時在上的最大值為。

③當時，結合圖形可知在，上遞減，在，上遞增，且，，經比較，知此時 在上的最大值為。

④當時，結合圖形可知在，上遞減，在，上遞增，且, ，經比較，知此時 在上的最大值為。

當時，結合圖形可知在上遞減，在上遞增，故此時 在上的最大值為。綜上所述，當時，在上的最大值為；當時， 在上的最大值為；當時， 在上的最大值為0。