Question

如圖，點F是橢圓的左焦點，A、B是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率為．點C在x軸上，BC⊥BF，且B、C、F三點確定的圓M恰好與直線相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過F作一條與兩坐標軸都不垂直的直線l交橢圓于P、Q兩點，在x軸上是否存在定點N，使得NF恰好為△PNQ的內角平分線，若存在，求出點N的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）從=著手分析a、b、c之間的關系，再結合條件BC⊥BF，且B、C、F三點確定的圓M恰好與直線相切，可求得a，從而可求得橢圓的方程；
（Ⅱ）假設在x軸上是否存在定點N，使得NF恰好為△PNQ的內角平分線，利用角平分線的性質定理得：=，再結合橢圓的定義進行轉化即可．
解答：解：（Ⅰ）∵=，
∴c=a，b==a，
又F（-c，0），B（0，b），在直角三角形BFO中，tan∠BFO===，
∴∠BFO=．|BF|=a．
∵BC⊥BF，
∴∠BCF=，
∴|CF|=2a．
∴B、C、F三點確定的圓M的圓心M的坐標為：（，0），半徑r=a；
又圓M與直線相切，
∴圓心M到直線x+y+3=0的距離等于r，即=a，又a＞0，
∴a=2，
∴b=．
∴橢圓的方程為：．
（Ⅱ）假設在x軸上是否存在定點N，使得NF恰好為△PNQ的內角平分線，
則由角平分線的性質定理得：=，又|PF|+|PN|=2a=4，|QF|+|QN|=2a=4，
∴=，
∴|PF|=|QF|，即F為PQ的中點，
∴PQ⊥x軸，這與已知“過F作一條與兩坐標軸都不垂直的直線l交橢圓于P、Q兩點”矛盾，
∴假設不成立，即在x軸上不存在定點N，使得NF恰好為△PNQ的內角平分線．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，求橢圓的方程，關鍵在于根據題意從角入手分析出a、b、c之間的關系，難點在于（Ⅱ）中橢圓定義的靈活應用，屬于難題．