Question

已知拋物線的方程為y²=4x，直線l過定點P（-2，1），斜率為k．若直線l與拋物線有公共點，則k的取值范圍是

-1≤k≤

1

2

．

Answer 1

分析：設出直線方程代入拋物線方程整理可得k²x²+（4k²+2k-4）x+4k²+4k+1=0（*），再分類討論：
（1）直線與拋物線只有一個公共點?（*）只有一個根；
（2）直線與拋物線有2個公共點?（*）有兩個根．最后綜合即得．

解答：解：由題意可設直線方程為：y=k（x+2）+1，
代入拋物線方程整理可得k²x²+（4k²+2k-4）x+4k²+4k+1=0（*）
（1）直線與拋物線只有一個公共點等價于（*）只有一個根
①k=0時，y=1符合題意；
②k≠0時，△=（4k²+2k-4）²-4k²（4k²+4k+1）=0，整理，得2k²+k-1=0，
解得k=

1

2

或k=-1．
可得，k=

1

2

或k=-1或k=0；
（2）由題意，得2k²+k-1＜0，
∴-1＜k＜

1

2

，且k≠0．
綜上可得，則k的取值范圍是 -1≤k≤

1

2

．
故答案為：-1≤k≤

1

2

．

點評：本題主要考查了由直線與拋物線的位置關系的求解參數的取值范圍，一般的思路是把位置關系轉化為方程解的問題，體現了轉化的思想．