Question

【題目】已知函數（，）.

（1）若，且在內有且只有一個零點，求的值；

（2）若，且有三個不同零點，問是否存在實數使得這三個零點成等差數列？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）求出導函數，根據導函數的正負分布求解函數單調性,再根據在內有且只有一個零點，求得的值；

（2）若有三個不同零點，且成等差數列，可設利用待定系數法求解參數的取值.

（1）若，則，.

若，則函數在上單調遞增,則，

故在無零點；

若，令，得，.

在上，，單調遞減，

在上，，單調遞增.

又在內有且只有一個零點，則，

得，得,得.

（2）因為，則，若有三個不同零點，且成等差數列，

可設

,

故，則，故，，.此時，，，故存在三個不同的零點，故符合題意的的值為.