Question

設拋物線C：y²=2px，AB是過焦點F(

p

2

，0)的弦，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），O（0，0），l為準線，給出以下結論：
①4x₁x₂=p²；②以AB為直徑的圓與準線l相離；③

1

|AF|

+

1

|BF|

=

1

p

；  ④設準線l與x軸交于點N，則FN平分∠ANB；⑤過準線l上任一點M作拋物線的切線，則切點的連線必過焦點．則以上結論正確的是

①④⑤

將正確結論的序號填上去）

Answer 1

分析：①由題意可設直線AB的方程為x=ky+

1

2

p，聯立方程

y2=2px x=ky+ 1 2 p

消去x可得y²-2pky-p²=0（*），根據方程的根與系數關系可求
②分別過A，B作AP⊥l，BQ⊥l，垂足分別為P，Q，由拋物線的定義可知，AF=AP，BF=BQ，設AB的中點為C，過C作CD⊥l，垂足為D，則CD=

AP+BQ

2

=

AF+BF

2

1

2

AB，從而可判斷
③由定義可得AF=AP=x1+

1

2

p，BF=BQ=x2+

1

2

p，結合①中的方程的根與系數關系可求
④要證FN平分∠ANB，即∠ANF=∠BNF，根據題意只要證明K_AN=-K_BN，即可
⑤設出切線方程，聯立直線與拋物線方程，根據方程的根與系數關系可求過切點的直線方程，進而可判斷過 焦點

解答：解：由題意可設直線AB的方程為x=ky+

1

2

p
聯立方程

y2=2px x=ky+ 1 2 p

消去x可得y²-2pky-p²=0（*）
則y1y2=-p2，y₁+y₂=2pk，

∴x1x2=

y12

2p

•

y22

2p

=

p4

4p2

=

p2

4

∴4x1x2=p2  ①正確
分別過A，B作AP⊥l，BQ⊥l，垂足分別為P，Q
由拋物線的定義可知，AF=AP，BF=BQ
設AB的中點為C，過C作CD⊥l，垂足為D，則CD=

AP+BQ

2

=

AF+BF

2

=

1

2

AB
即所作圓的圓心C到準線的距離與圓的半徑

1

2

AB相等，則以AB為直徑的圓與準線l相切，②錯誤
由于AF=AP=x1+

1

2

p，BF=BQ=x2+

1

2

p
由方程（*）可得，x₁+x₂=k（y₁+y₂）+p=2pk²+p

1

AF

+

1

BF

=

1

x1+ 1 2 p

+

1

x2+ 1 2 p

=

x1+x2+p

(x1+ 1 2 p)(x2+ 1 2 p)

=

x1+x2+p

x1x2+ 1 2p (x1+x2)+ p2 4

=

2pk2+p+p

p2 4 + p 2 •(2pk2+p)+ p2 4

=

2p(1+k2)

p2 (1+k2)

=

2

p

③錯誤
由題意可知N（-

1

2

p，0），KAN=

y1

x1+ 1 2 p

，KBN=

y2

x2+ 1 2 p

∴K_AN+K_BN=

y1

x1+ 1 2 p

+

y2

x2+ 1 2 p

=

y1

ky1+p

+

y2

ky2+p

=

2ky1y2+p(y1+y2)

k2y1y2+kp(y1+y2)+p2

=

2k•(-p2)+p•2pk

k2•(-p2)+kp•2pk+p2

=0
∴K_AN=-K_BN，則可得∠ANF=∠BNF即FN平分∠ANB，④正確
設點M（-

p

2

，m），切點分別為E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），從而可得切線的方程為y-m=k（x+

p

2

）
聯立方程

y2=2px y-m=k(x+ p 2 )

可得ky²-2py+kp²+2pm=0（*）
由題意可得，△=4p²-4k（kp²+2pm）=0即pk²+2mk-p=0
則k₁k₂=-1（k₁，k₂分別為切線ME，MF的斜率）
對應方程（*）可得y1=

p

k1

，y2=

p

k2

即E(

p

2k12

，

p

k1

)，F(

p

2k22

，

p

k2

)
∴KEF=

y2-y1

x2-x1

=

p k1 - p k2

p 2k12 - p 2k22

=

2k1k2

k1+k2

=-

2

k1+k2

∴過切點EF的直線方程為y-y1=

-2

k1+k2

(x-x1)
即y=-

2x

k1+k2

+

2x1

k1+k2

=-

2

k1+k2

(x-

p

2

)，即直線EF過焦點（

p

2

，0），⑤正確

點評：本題主要考查了拋物線的性質的應用，解題的關鍵是靈活利用拋物線的定義進行解題，屬于綜合性試題