Question

已知各項均為正數的數列{a_n} 滿足

a

2 n+1

=2

a

2 n

+anan+1，且a₂+a₄=2a₃+4，其中n∈N^*．
（1）求數列{a_n} 的通項公式；
（2）令cn=1+

n

an

，記數列{a_n} 的前n項積為T_n，其中n∈N^* 試比較T_n 與9的大小，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）將a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，化簡為（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0，又a_n＞0，得出2a_n=a_n+1，數列{a_n}是公比為2的等比數列，故可求數列{a_n} 的通項公式；
（2）構造函數f（x）=ln（1+x）-x（x≥0），證得f（x）＜f（0）=0，進而利用放縮法、再利用錯位相減法，即可得到結論．

解答：解：（1）因為a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，即（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0，
又a_n＞0，所以有2a_n-a_n+1=0，所以2a_n=a_n+1，所以數列{a_n}是公比為2的等比數列．
由a₂+a₄=2a₃+4得2a₁+8a₁=8a₁+4，解得a₁=2，故a_n=2ⁿ（n∈N^*）
（2）構造函數f（x）=ln（1+x）-x（x≥0），則f′(x)=-

x

1+x

當x＞0時，f′（x）＜0，即f（x）在（0，+∞）上單調遞減
∴f（x）＜f（0）=0，∴ln（1+x）-x＜0
∴lnc_n=ln（1+

n

an

）=ln(1+

n

2n

)＜

n

2n

∴lnT_n＜

1

2

+

2

22

…+

n

2n

記A_n=

1

2

+

2

22

…+

n

2n

①，則

1

2

A_n=

1

22

+

2

23

…+

n-1

2n

+

n

2n+1

②
∴①-②可得

1

2

A_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

…+

1

2n

-

n

2n+1

=1-

n+2

2n+1

＜1
∴A_n＜2
∴lnT_n＜2
∴T_n＜e²＜9．

點評：本題主要考查等比數列的判定，性質和數列的求和，考查構造函數，考查學生分析解決問題的能力，綜合性強．