Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a．
（1）求點C₁到平面AB₁D₁的距離；
（2）（理）求平面CDD₁C₁與平面AB₁D₁所成的二面角（結果用反三角函數值表示）．
（文）E為棱CD的中點，求異面直線BE與AD₁所成的角．

Answer 1

分析：（1）以A為原點建立如圖所示空間直角坐標系，可得向量

C1A

、

AD1

、

AB1

的坐標，利用垂直向量數量積為零的方法，建立方程組解出平面AB₁D₁的一個法向量是

n

=（1，1，-1）．再利用點到平面的距離公式加以計算，即可得出
點C₁到平面AB₁D₁的距離；
（2）（理）根據正方體的性質得AD⊥平面CDD₁C₁，平面CDD₁C₁的一個法向量是

m

=（0，1，0），結合

n

=（1，1，-1）是平面AB₁D₁的一個法向量，利用空間向量的夾角公式算出

m

、

n

的夾角余弦，即可得到平面CDD₁C₁與平面AB₁D₁所成的二面角大小；
（文）計算出E的坐標，從而得到

BE

=（-

1

2

a，a，0），結合

AD1

=（0，a，a）利用空間向量的夾角公式算出

BE

、

AD1

夾角的余弦值，即可求出異面直線BE與AD₁所成角的大小．

解答：解  （1）分別以AB、AD、AA₁為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，
可得A（0，0，0）、D₁（0，a，a）、B₁（a，0，a）、C₁（a，a，a），
∴

C1A

=（-a，-a，-a），

AD1

=（0，a，a），

AB1

=（a，0，a）．
設

n

=（x，y，z）是平面AB₁D₁的一個法向量，
可得

n • AD1 =ay+az=0 n • AB1 =ax+az=0

．
令z=-1得x=y=1，于是平面AB₁D₁的一個法向量是

n

=（1，1，-1）．
因此，C₁到平面AB₁D₁的距離是
d=

| C1A • n |

|n|

=

|-a×1+(-a)×1+(-a)×(-1)|

1+1+1

=

3

3

a；
（2）（理）由（1）知，平面AB₁D₁的一個法向量是

n

=（1，1，-1）．
又∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD⊥平面CDD₁C₁，
∴平面CDD₁C₁的一個法向量是

m

=（0，1，0）．
設平面CDD₁C₁與平面AB₁D₁所成的二面角為θ（結合圖形可知θ為銳角），
則cosθ=

| m • n |

|m| • |n|

=

|0×1+1×1+0×(-1)

0+1+0 • 1+1+1

=

3

3

．
∴平面CDD₁C₁與平面AB₁D₁所成的二面角大小為arcsin

3

3

．
（文）∵E為棱CD的中點，∴E（

1

2

a，a，0），
結合B（a，0，0），可得

BE

=（-

1

2

a，a，0），
又∵

AD1

=（0，a，a），
∴cos＜

BE

，

AD1

＞=

BE • AD1

|BE| • |AD1|

=

- 1 2 a•0+a•a+0•a

1 4 a2+a2+02• 02+a2+a2

=

10

5

，
由此可得異面直線BE與AD₁所成的角等于arccos

10

5

．

點評：本題在正方體中求點到平面的距離、異面直線所成角和二面的平面角．著重考查了正方體的性質、利用空間向量研究線線角、面面角和空間點到平面距離的求法等知識，屬于中檔題．