Question

2．已知非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$滿足$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$，則$\overrightarrow a$與$2\overrightarrow a-\overrightarrow b$夾角的余弦值為$\frac{5\sqrt{7}}{14}$．

Answer 1

分析 利用兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，余弦定理，數形結合求得$\overrightarrow a$與$2\overrightarrow a-\overrightarrow b$夾角的余弦值．

解答 解：非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$滿足$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$，不妨設$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$=1，
設$\overrightarrow a$與$2\overrightarrow a-\overrightarrow b$夾角為θ，如圖所示：
設$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，則OA=OB=OC=1，設$\overrightarrow{OD}$=2$\overrightarrow{OA}$=2$\overrightarrow{a}$，則$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，
∠ODB即為θ，△OAC和△OBC都是邊長等于1的等邊三角形．
利用余弦定理可得BD=$\sqrt{{OD}^{2}{+OB}^{2}-2OA•OB•cos120°}$=$\sqrt{7}$，
cosθ=$\frac{{OD}^{2}{+BD}^{2}{-OB}^{2}}{2OD•BD}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$，
故答案為：$\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$．

點評 本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，余弦定理的應用，屬于中檔題．