Question

選修4-2矩陣與變換
（Ⅰ）已知矩陣A=所對應(yīng)的線性變換把直線l：2x-y=3變換為自身，求A^-1．
（Ⅱ）已知是矩陣B=屬于特征值λ₁=2的一個特征向量，求矩陣B及其另一個特征值及其對應(yīng)的一個特征向量．

Answer 1

【答案】分析：（I）因為矩陣A=對應(yīng)的變換把直線l：2x-y=3變換為自身，即直線l上的點經(jīng)過變換后沒有變，因此取直線l上的兩點，對其進行變換列出方程方程組解出a、b得到矩陣M，最后根據(jù)逆矩陣的公式可求出A^-1．
（II）根據(jù)特征多項式的一個零點為2，解出c=1且d=2，得B=，再回代到方程f（λ）=0即可解出另一個特征值為λ₂=1，由此即可求出其對應(yīng)的一個特征向量．
解答：解：（I）在直線l上取兩點（，0），（0，-3）．
因為•=，•=，…（6分）
∵A對應(yīng)的變換把直線變換為自身，所以點（-，b），（-3a，-9）仍在直線l上．
代入直線方程得，解之得
可得矩陣A=，運用逆矩陣公式得
A^-1==…（10分）
（II）根據(jù)題意，•=2
∴，解之得c=1且d=2，得B=
由B的特征多項式f（λ）==0，解得矩陣B的另一個特征值λ₂=1
因此，是屬于特征值λ₂=1的特征向量．
點評：本題給出矩陣變換，求矩陣A的逆矩陣并求特征向量．主要考查了逆矩陣的求法、特征值與特征向量的計算的知識，同時考查了計算能力，屬于中檔題．