Question

10．已知定義在R上的函數滿足f（1）=2，且f（x）的導數f′（x）在R上恒有f′（x）＜1（x∈R），則不等式f（x）＜x+1的解集為（　�。�

• A． （1，+∞）
• B． （-∞，-1）
• C． （-1，1）
• D． （-∞，1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 由題意，設g（x）=f（x）-（x+1），x∈R；求出g′（x），判定g（x）的單調性，由此求出不等式f（x）＜x+1的解集．

解答 解：根據題意，設g（x）=f（x）-（x+1），x∈R；
∴g′（x）=f′（x）-1＜0，
∴g（x）在R上是單調減函數；
又∵g（1）=f（1）-（x+1）=0，
∴當x＞1時，g（x）＜0恒成立，
即f（x）＜x+1的解集是（1，+∞）．
故選：A．

點評 本題考查了求不等式的解集的問題，解題時根據題意，利用構造函數的方法，由導數判定函數的單調性并求出不等式的解集，是中檔題．