Question

已知：數列{an}滿足，其中n∈N，首項為a0 (1) 若對于任意的n∈N，數列{an}還滿足an＝p(p為常數)，試求a0的值； (2) 若a0＝4，求滿足不等式an≤2的自然數n的集合； (3) 若存在a0，使數列{an}滿足：對任意正整數n，均有an＜an+1，求a0的取值范圍

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：∴對任意的n∈N，an＝p(p為常數)， ∴an＝an+1＝a0＝p， 則＝p，得p2－3p＋2＝0， 所以p＝1或p＝2，故a0的值為1或2．…………………………4分
(2)	解法1：由已知，得an+1－1＝， a0＝4，所以由(1)得an≠1，2對任意n∈N成立． ∴所求的自然數n的集合為：{n|n≥3，n∈N}……………………8分 解法2：由a0＝4>2，a1＝f(a0)＝>2， 可假設當n＝k(k≥1且k∈N)時，ak>2成立， 則當n＝k＋1時，ak+1＝4－． ∵ak＋1>3，∴4－>2， 即得ak+1>2． ∴當n＝k＋1(k≥1且k∈N)時，ak+1>2成立． 由此可得an>2對任意的自然數n都成立． 所以此時，知數列{an}是遞減數列． 由計算可知：， 因此n≥3，n∈N即為所求的自然數n的范圍． ∴所求的自然數n的集合為：{n|n≥3，n∈N}………………………………8分
(3)	解：解不等式an<an+1，得an<，得an<－1或1<an<2． 要使a1<a2，則a1<－1或1<a1<2． (i)當a1<－1時，a2＝f(a1)＝4－>4，而a3＝f(a2)＝4－<4<a2，明顯不滿足題意，舍去； (ii)當1<a1<2時，由a2＝4－，得1<a2<2， 由a3＝4－，和1<a3<2， …，…， 依此類推，an＝4－，得1<an<2， 而1<an<2時，不等式an<an+1成立． ∴數列{an}中的所有項均滿足an<an+1(n∈N*)． 綜上所述，a1∈(1，2)，由a1＝f(a0)，得a0∈(1，2)………………14分