Question

設不等式組所表示的平面區域為D_n,記D_n內的格點(格點即橫坐標和縱坐標均為整數的點)的個數為f(n)(n∈N^*).

(1)求f(1),f(2)的值及f(n)的表達式.(可以不作證明)

(2)記T_n=,若對于一切正整數n,總有T_n≤m成立,求實數m的取值范圍.

(3)求證:當n∈N^*時,++…+＜.

Answer 1

解:(1)f(1)=3,f(2)=6.直線y=-nx+3n恒過點(3,0)且斜率k=-n＜0,

∴x只能取1,2.當x=1時,y=2n,可取格點2n個;當x=2時,y=n,可取格點n個.

∴f(n)=3n.(2)T_n==,

∵==,當n=1時,＞1;當n=2時,=1;當n≥3時,＜1.

∴T₁＜T₂=T₃＞T₄＞…＞T_n.故T_n的最大值是T₂=T₃=,∴m≥.

(3)由(1)可知++…+=(++…+),

∵(++…+)²＜()［()²+()²+…+()²］

＜n［++…+］

=n(++…)=.

∴++…+＜,得證.