Question

已知函數f(x)=lnx+

1

x

+ax在[2，+∞)上是減函數，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：根據題意，已知f（x）在區間[2，+∞）上是減函數，即f′（x）≤0在區間[2，+∞）上恒成立，對于恒成立往往是把字母變量放在一邊即參變量分離，另一邊轉化為求函數在定義域下的最值，即可求解．

解答：解：f′（x）=

1

x

-

1

x2

+a，，∵f（x）在[2，+∞）上為減函數，
∴x∈[2，+∞）時，f′（x）=

1

x

-

1

x2

+a≤0恒成立．
即a≤

1

x2

-

1

x

恒成立．
設y=

1

x2

-

1

x

，t=

1

x

∈（0，

1

2

]
y=t²-t=(t-

1

2

)2-

1

4

≥-

1

4

∴y_min=-

1

4

則a≤y_min=-

1

4

故答案為：(-∞，-

1

4

]

點評：本題主要考查了根據函數單調性求參數范圍的問題，解題的關鍵將題目轉化成f′（x）≤0在區間[2，+∞）上恒成立進行求解，同時考查了參數分離法，屬于中檔題．