Question

對函數y=f(x)定義域中任一個x的值均有f(x+a)=f(a－x),

(1)求證y=f(x)的圖像關于直線x=a對稱；

(2)若函數f(x)對一切實數x都有f(x+2)=f(2－x),且方程f(x)=0恰好有四個不同實根，求這些實根之和。

Answer 1

(1) 證明略(2) f(x)=0的四根之和為8

解析:

  設(x₀,y₀)是函數y=f(x)圖像上任一點，則y₀=f(x₀),

∵=a,　∴點(x₀,y₀)與(2a－x₀,y₀)關于直線x=a對稱，

又f(a+x)=f(a－x),

∴f(2a－x₀)=f［a+(a－x₀)］=f［a－(a－x₀)］=f(x₀)=y₀,

∴(2a－x₀,y₀)也在函數的圖像上，

故y=f(x)的圖像關于直線x=a對稱.

(2)解：由f(2+x)=f(2－x)得y=f(x)的圖像關于直線x=2對稱，

若x₀是f(x)=0的根，則4－x₀也是f(x)=0的根，

若x₁是f(x)=0的根，則4－x₁也是f(x)=0的根，

∴x₀+(4－x₀)+ x₁+(4－x₁)=8

即f(x)=0的四根之和為8.