Question

【題目】（本小題滿分14分）

設橢圓的離心率為，其左焦點與拋物線的焦點相同.

（1）求此橢圓的方程；

（2）若過此橢圓的右焦點的直線與曲線只有一個交點，則

①求直線的方程；

②橢圓上是否存在點，使得，若存在，請說明一共有幾個點；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）

（2）①或或.

②12個

【解析】

試題分析：對于第一問中的橢圓方程，根據拋物線的焦點坐標求出的值，根據離心率的值，得出的值，從而得出的值，得到相應的橢圓方程，對于第二問，根據題的條件，設出直線的方程，當直線和拋物線相切時，一種情況，聯立式子，對應的二次方程有兩個相等實根，判別式等于0，一種是直線和拋物線的對稱軸平行即可得結果；根據所求的直線方程，可以得出對應的交點P的坐標，因為F點是已知的，所以三角形的底邊FP的長度已經確定，要想面積是所給的值，可以得出點M到此直線的距離，建立相應的等量關系，從而得出點的個數.

試題解析：

解：（1）拋物線的焦點為，

所以. （1分）

由，得， （2分）

所以 （3分）

因此，所求橢圓的方程為（*）（4分）

（2）①橢圓的右焦點為，過點與軸平行的直線顯然與曲線沒有交點.設直線的斜率為. （5分）

當時，則直線過點且與曲線只有一個交點，此時直線的方程為； （6分）

當時，因直線過點，故可設其方程為，將其代入消去，得.

因為直線與曲線只有一個交點，所以判別式，于是，即直線的方程為或. （7分）

因此，所求的直線的方程為或或. （8分）

②由①可求出點的坐標是或或.

當點的坐標為時，則.于是=，從而，代入（*）式聯立：或，求得，此時滿足條件的點有4個:

. （10分）

當點的坐標為，則，點到直線：的距離是，于是有，

從而，與（*）式聯立：或解之，可求出滿足條件的點有4個:

，，，. （12分）

當點的坐標為，則，點到直線:的距離是，于是有，

從而，與（*）式聯立：或，

解之，可求出滿足條件的點有4個:

，,,. （14分）

綜合①②③，以上12個點各不相同且均在該橢圓上，因此，滿足條件的點共有12個.圖上橢圓上的12個點即為所求.