Question

某企業為打入國際市場，決定從A、B兩種產品中只選擇一種進行投資生產，已知投資生產這兩種產品的有關數據如表：（單位：萬美元）

	年固定成本	每件產品成本	每件產品銷售價	每年最多可生產的件數
A產品	20	m	10	200
B產品	40	8	18	120

其中年固定成本與年生產的件數無關，m是待定常數，其值由生產A產品的原材料決定，預計m∈[6，8]，另外，年銷售x件B產品時需上交0.05x²萬美元的特別關稅，假設生產出來的產品都能在當年銷售出去．
（1）求該廠分別投資生產A、B兩種產品的年利潤y₁，y₂與生產相應產品的件數x之間的函數關系，并求出其定義域；
（2）如何投資才可獲得最大年利潤？請設計相關方案．

Answer 1

【答案】分析：（1）利潤=年銷售收入-固定成本-產品成本-特別關稅，可求得該廠分別投資生產A、B兩種產品的年利潤y₁，y₂與生產相應產品的件數x之間的函數關系和定義域；（2）作差法比較年利潤y₁，y_{2^{的大小，設確定}}計相關方案．
解答：解：（1）y₁=10x-（20+mx）=（10-m）x-20，0＜x≤200，且x∈N
y₂=18x-（8x+40）-0.05x²=-0.05x²+10x-40，0＜x≤120且x∈N
（2）∵6≤m≤8
∴10-m＞0
∴y₁=（10-m）x-20為增函數
又0≤x≤200，x∈N
∴x=200時，生產A產品有最大利潤（10-m）×200-20=1980-200m（萬美元）
y₂=-0.05x²+10x-40=-0.05（x-100）²+4600≤x≤120，x∈N
∴x=100時，生產B產品有最大利潤460（萬美元）
（y₁）_max-（y₂）_max
=1980-200m-460
=1520-200m                             
當6≤m＜7.6時，（y₁）_max-（y₂）_max＞0
當m=7.6時，（y₁）_max-（y₂）_max=0
當7.6＜m≤8時，（y₁）_max-（y₂）_max＜0
∴當6≤m＜7.6投資A產品200件可獲得最大利潤
當7.6＜m≤8投資B產品100件可獲得最大利潤
m=7.6生產A產品與B產品均可獲得最大年利潤．
點評：考查根據實際問題抽象函數模型的能力，并能根據模型的解決，指導實際生活中的決策問題，屬中檔題．